Hier ist die Mathematik hinter diesen “unmöglichen” Mustern, die sich nie wiederholen

Wir haben alle Grafikpapiere gesehen, die eine endlose Reihe kleiner Quadrate mit großer Ehrfurcht und Staunen haben. In mathematischen Begriffen würden wir es ein “periodisches Mosaik des Raums” nennen, das Formen hat, die einen gesamten Bereich ohne Überlappung oder Raum abdecken. Bewegen Sie nun das Papier um die Länge einer Kachel oder drehen Sie es um 90 Grad. Es hat das gleiche Muster. Der Grund ist, dass das gesamte Blatt die gleiche Symmetrie wie eine einzelne Kachel hat. Nehmen Sie nun ein Fünfeck anstelle eines Quadrats, und Sie werden bald feststellen, dass es unmöglich ist, ein ähnliches Muster zu erstellen, nur weil die Fünfecke nicht zusammenpassen, ohne sich zu überlappen oder ziemlich sichtbare Zwischenräume zu lassen.

Muster wie diese und Kristalle, die aus Atomen oder Molekülen bestehen, weisen eine ähnliche Symmetrie auf. Sie werden überrascht sein, dass diese Art von Anordnungen in der Natur bevorzugt werden, da sie für die Montage die geringste Energiemenge erfordern.

Heute werden wir unsere Logik auf die Erkenntnisse eines Physikers namens Roger Penrose stützen. 1970 entdeckte er die Möglichkeit, ein Muster aus zwei verschiedenen Formen herzustellen, die die Winkel und Seiten eines Fünfecks haben. Und dies ist der Trick, der dahinter steckt, verschiedene Muster auf die gleiche Weise zu erstellen. Es sieht gleich aus, wenn es um 72 Grad gedreht wird, was bedeutet, dass es immer noch gleich aussieht, wenn Sie 360 ​​Grad aus fünf verschiedenen Winkeln drehen. Im folgenden GIF wird beispielsweise der fünfzackige Stern immer wieder verwendet. Da diese Sterne jedoch jedes Mal auf unterschiedliche Weise umgeben sind, wiederholt sich das gesamte Muster niemals in eine Richtung. Dies ist ein klassisches Beispiel für ein Muster mit Rotationssymmetrie, aber ohne transnationale Symmetrie.

GIF Credits: Yahoo

Irrationale Zahl

Kommen wir nun zur Mathematik des Phänomens. Die Eigenschaft, ein sich nie wiederholendes Glasmuster mit Rotationssymmetrie, aber ohne transnationale Symmetrie zu haben, ergibt sich aus einer irrationalen Zahl. Nehmen Sie dazu ein normales Fünfeck. Das Fünfeck muss so sein, dass es den goldenen Schnitt hat. Dies bedeutet, dass der Anteil der seitlichen Länge des fünfzackigen Sterns, den Sie in einem Fünfeck neben dem echten Fünfeck zeichnen können, gleich der berühmten irrationalen Zahl “phi” oder 1,618 (nicht pi) sein muss. Der goldene Schnitt erfüllt auch das Verhältnis phi = 1 + 1 / phi. Wie Sie im Bild unten sehen können, beobachten wir daher beim Aufbau eines Quasikristalls mit Mosaiken, die von einem Fünfeck abgeleitet sind, eine Rotationssymmetrie in Winkeln von 72 Grad.

Bildnachweis: Yahoo

Diese fünffache Symmetrie findet sich im Quasikristallbild als die zehn radialen Linien um den zentralen roten Punkt (oben). Weiße Kugeln können als Position von Atomen in der Kristallstruktur betrachtet werden, während rote und gelbe Balken Verbindungen zwischen Partikeln und den Formen und Symmetrien der Struktur darstellen.

Die obigen zwei Eigenschaften sind notwendig, um einen 3D-Quasikristall zu bilden. Das erste ist die Anforderung, dass Muster in zwei verschiedenen Größen, die in einer geeigneten irrationalen Beziehung (z. B. Phi) auftreten, im System auftreten müssen. Und die zweite Anforderung ist, dass diese Muster das Aussehen des anderen beeinflussen können. Neben Strukturen, die sich nie wiederholen, können auch andere reguläre Kristallstrukturen wie Sechsecke, körperzentrierte Würfel usw. gebildet werden. Diese Modelle ermöglichen es uns, die Möglichkeiten all dieser verschiedenen Muster zu untersuchen und auch die Bedingungen aufzuzeigen, unter denen sich Quasikristalle in der Natur bilden werden.

Mathematik ist nicht nur theoretisch, sondern auch für viele praktische Anwendungen von großer Bedeutung, einschließlich der Herstellung hocheffizienter Quasikristalllaser und der Endbearbeitung von Farben für den Haushalt. Deshalb waren Forscher an der Universität von Leeds so fasziniert, dass sie sich mit diesem Phänomen befassten und diese wunderbare Antwort fanden.

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