{"id":43447,"date":"2020-07-23T15:39:18","date_gmt":"2020-07-23T15:39:18","guid":{"rendered":"https:\/\/blogging-techies.com\/ge\/hier-ist-die-mathematik-hinter-diesen-unmoglichen-mustern-die-sich-nie-wiederholen\/"},"modified":"2020-07-23T15:39:18","modified_gmt":"2020-07-23T15:39:18","slug":"hier-ist-die-mathematik-hinter-diesen-unmoglichen-mustern-die-sich-nie-wiederholen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogging-techies.com\/ge\/hier-ist-die-mathematik-hinter-diesen-unmoglichen-mustern-die-sich-nie-wiederholen\/","title":{"rendered":"Hier ist die Mathematik hinter diesen “unm\u00f6glichen” Mustern, die sich nie wiederholen"},"content":{"rendered":"

Wir haben alle Grafikpapiere gesehen, die eine endlose Reihe kleiner Quadrate mit gro\u00dfer Ehrfurcht und Staunen haben. In mathematischen Begriffen w\u00fcrden wir es ein “periodisches Mosaik des Raums” nennen, das Formen hat, die einen gesamten Bereich ohne \u00dcberlappung oder Raum abdecken. Bewegen Sie nun das Papier um die L\u00e4nge einer Kachel oder drehen Sie es um 90 Grad. Es hat das gleiche Muster. Der Grund ist, dass das gesamte Blatt die gleiche Symmetrie wie eine einzelne Kachel hat. Nehmen Sie nun ein F\u00fcnfeck anstelle eines Quadrats, und Sie werden bald feststellen, dass es unm\u00f6glich ist, ein \u00e4hnliches Muster zu erstellen, nur weil die F\u00fcnfecke nicht zusammenpassen, ohne sich zu \u00fcberlappen oder ziemlich sichtbare Zwischenr\u00e4ume zu lassen.<\/p>\n

Muster wie diese und Kristalle, die aus Atomen oder Molek\u00fclen bestehen, weisen eine \u00e4hnliche Symmetrie auf. Sie werden \u00fcberrascht sein, dass diese Art von Anordnungen in der Natur bevorzugt werden, da sie f\u00fcr die Montage die geringste Energiemenge erfordern.<\/p>\n

Heute werden wir unsere Logik auf die Erkenntnisse eines Physikers namens Roger Penrose st\u00fctzen. 1970 entdeckte er die M\u00f6glichkeit, ein Muster aus zwei verschiedenen Formen herzustellen, die die Winkel und Seiten eines F\u00fcnfecks haben. Und dies ist der Trick, der dahinter steckt, verschiedene Muster auf die gleiche Weise zu erstellen. Es sieht gleich aus, wenn es um 72 Grad gedreht wird, was bedeutet, dass es immer noch gleich aussieht, wenn Sie 360 \u200b\u200bGrad aus f\u00fcnf verschiedenen Winkeln drehen. Im folgenden GIF wird beispielsweise der f\u00fcnfzackige Stern immer wieder verwendet. Da diese Sterne jedoch jedes Mal auf unterschiedliche Weise umgeben sind, wiederholt sich das gesamte Muster niemals in eine Richtung. Dies ist ein klassisches Beispiel f\u00fcr ein Muster mit Rotationssymmetrie, aber ohne transnationale Symmetrie.<\/p>\n

\"Bildnachweis:GIF Credits: Yahoo<\/figure>\n

Irrationale Zahl<\/h2>\n

Kommen wir nun zur Mathematik des Ph\u00e4nomens. Die Eigenschaft, ein sich nie wiederholendes Glasmuster mit Rotationssymmetrie, aber ohne transnationale Symmetrie zu haben, ergibt sich aus einer irrationalen Zahl. Nehmen Sie dazu ein normales F\u00fcnfeck. Das F\u00fcnfeck muss so sein, dass es den goldenen Schnitt hat. Dies bedeutet, dass der Anteil der seitlichen L\u00e4nge des f\u00fcnfzackigen Sterns, den Sie in einem F\u00fcnfeck neben dem echten F\u00fcnfeck zeichnen k\u00f6nnen, gleich der ber\u00fchmten irrationalen Zahl “phi” oder 1,618 (nicht pi) sein muss. Der goldene Schnitt erf\u00fcllt auch das Verh\u00e4ltnis phi = 1 + 1 \/ phi. Wie Sie im Bild unten sehen k\u00f6nnen, beobachten wir daher beim Aufbau eines Quasikristalls mit Mosaiken, die von einem F\u00fcnfeck abgeleitet sind, eine Rotationssymmetrie in Winkeln von 72 Grad.<\/p>\n

\"Bildnachweis:Bildnachweis: Yahoo<\/figure>\n

Diese f\u00fcnffache Symmetrie findet sich im Quasikristallbild als die zehn radialen Linien um den zentralen roten Punkt (oben). Wei\u00dfe Kugeln k\u00f6nnen als Position von Atomen in der Kristallstruktur betrachtet werden, w\u00e4hrend rote und gelbe Balken Verbindungen zwischen Partikeln und den Formen und Symmetrien der Struktur darstellen.<\/p>\n

Die obigen zwei Eigenschaften sind notwendig, um einen 3D-Quasikristall zu bilden. Das erste ist die Anforderung, dass Muster in zwei verschiedenen Gr\u00f6\u00dfen, die in einer geeigneten irrationalen Beziehung (z. B. Phi) auftreten, im System auftreten m\u00fcssen. Und die zweite Anforderung ist, dass diese Muster das Aussehen des anderen beeinflussen k\u00f6nnen. Neben Strukturen, die sich nie wiederholen, k\u00f6nnen auch andere regul\u00e4re Kristallstrukturen wie Sechsecke, k\u00f6rperzentrierte W\u00fcrfel usw. gebildet werden. Diese Modelle erm\u00f6glichen es uns, die M\u00f6glichkeiten all dieser verschiedenen Muster zu untersuchen und auch die Bedingungen aufzuzeigen, unter denen sich Quasikristalle in der Natur bilden werden.<\/p>\n

Mathematik ist nicht nur theoretisch, sondern auch f\u00fcr viele praktische Anwendungen von gro\u00dfer Bedeutung, einschlie\u00dflich der Herstellung hocheffizienter Quasikristalllaser und der Endbearbeitung von Farben f\u00fcr den Haushalt. Deshalb waren Forscher an der Universit\u00e4t von Leeds so fasziniert, dass sie sich mit diesem Ph\u00e4nomen befassten und diese wunderbare Antwort fanden.<\/p>\n

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